Y con relación al cuarto tipo de Matemáticas enumerado, la Geometría, fue un siglo después de Alhazen, cuando Omar Jayyam revolucionó este tipo de estudios con su Tratado de Álgebra, que extendía la clásica álgebra de al-Juwarizmi hasta incluir las ecuaciones cúbicas. Siguiendo la tradición de sus predecesores, Omar Jayyam da los dos tipos de soluciones, aritméticas y geométricas, para las ecuaciones cuadráticas (4); acerca de las ecuaciones cúbicas en general, parece haber creído en principio (equivocadamente, como se vio en el siglo XVI), que era imposible dar soluciones aritméticas, y por lo tanto, Omar Jayyam da únicamente soluciones geométricas en estos casos.

La idea de utilizar intersecciones de cónicas para resolver ecuaciones cúbicas no era nueva, sino que ya había sido explorada y explotada por Menecmo, Arquímedes y Alhazen, pero Omar Jayyam dio el paso decisivo de generalizar el método para cubrir todas las ecuaciones cúbicas que tengan alguna raíz positiva. Ya en una obra anterior, al llegar a una ecuación de tercer grado, hacía expresamente Omar Jayyam la observación siguiente: “Esto no puede resolverse por medio de la geometría plana -es decir, usando solamente regla y compás-, debido a que contiene un cubo, y para resolverlo necesitamos las secciones cónicas” (5).

Para las ecuaciones de grado mayor que tres, Omar Jayyam, evidentemente, no intentó utilizar métodos geométricos análogos, por la sencilla razón de que el espacio no tiene más que tres dimensiones, llegado a afirmar que “... lo que llaman los algebristas cuadrado-cuadrado en el tratamiento de las magnitudes continuas, es sólo una cuestión teórica que no existe de ninguna manera en la realidad...” (6)

Los complicados procedimientos que aplicaba Omar Jayyam con justificado orgullo a las ecuaciones cúbicas, está claro que los podemos formular ahora de una manera mucho más breve y elegante, usando la notación algebraica y los conceptos modernos, tal y como sigue: sea la ecuación cúbica x3 + ax2 + b2x +c3 = 0; si sustituimos en ella x2 por 2py obtenemos 2pxy + 2apy + b2x + c3 = 0, que es la ecuación de una hipérbola, mientras que la ecuación x2 = 2py de la sustitución representa una parábola.

Está claro, pues, que si representamos la hipérbola anterior y esta parábola en un mismo sistema de ejes de coordenadas, entonces las abscisas de los puntos de intersección de las curvas (si las hay), serán las raíces de la ecuación cúbica dada. Es obvio que podrían haberse utilizado muchos otros pares de secciones cónicas distintos para resolver la cúbica de una manera análoga.

Omar Jayyam, a falta del concepto de coeficiente negativo, tuvo que dividir el problema en muchos casos distintos según los números a, b, c, fueran positivos, negativos o cero; además Omar Jayyam tenía que identificar sus secciones cónicas de una manera específica para cada caso concreto, al no disponer aún en aquella época del concepto de parámetro en general. Por otra parte, no se daban todas las raíces reales de una cúbica, al no admitir las raíces negativas y tampoco considerar, en general, todos los puntos de intersección de las secciones cónicas.

Hay que subrayar también que en las soluciones geométricas de las ecuaciones cúbicas dadas por los griegos, los coeficientes siempre eran segmentos, mientras que en el tratamiento de Omar Jayyam son números concretos. Precisamente, una de las contribuciones más fructíferas del eclecticismo árabe en este caso, fue la tendencia a cerrar el antiguo abismo abierto entre el álgebra numérica y el álgebra geométrica.

Ya sabemos que el paso decisivo en esta dirección lo dio Descartes mucho más tarde, pero Omar Jayyam ya se movía por el mismo camino al afirmar que: “... quienquiera que piense que el Álgebra es un sistema de trucos para obtener los valores de  incógnitas, piensa vanamente. No se debe prestar ninguna atención al hecho de que el Álgebra y la Geometría son en apariencia diferentes. Los hechos del Álgebra son hechos geométricos que están demostrados...” (7).

Así pues, al reemplazar la teoría de proporciones geométrica de Euclides por un planteamiento numérico, Omar Jayyam se acercó a la definición de número irracional, y bregó de hecho con el concepto de número real en general. (8)

Todos estos conocimientos matemáticos sirvieron a Omar Jayyam para renovar los conocimientos astronómicos de su época. De todos es sabido que la zona cultural persa-iraní del antiguo imperio islámico medieval muestra un interés singular por la Astronomía a partir de finales del siglo VIII: el número de sabios que se dedican a esta disciplina científica, los libros que nos han llegado de esta época, la cantidad de observatorios públicos y privados y, en fin, las innumerables observaciones precisas y concretas que se registran a partir de esta fecha, son testigos de esta actividad, que, en un principio, se limitaba casi exclusivamente a la observación y a la constatación de lo ya dicho por Ptolomeo y otros geógrafos y astrónomos griegos. (9)

La Astronomía teórica, la Astronomía científica que comienza a desarrollarse a finales del siglo X, es dsignada principalmente por dos términos: ‘ilm al-falak ,o ciencia del orbe celeste, e ‘ilm al-haya’a, o ciencia de la estructura del universo, es decir, la cosmografía. De todas formas, va a ser un término de origen persa, zīŷ, en buena correspondencia con el término griego kanôn, el que se va a utilizar con cada vez más frecuencia para dar título a los tratados astronómicos; así pues, un término, zīŷ, que en sentido estricto y literal se utilizaba para las tablas recopilatorias de los movimientos de los astros, va a ser utilizada, cada vez más, como término genérico para designar a los grandes tratados de Astronomía que conllevan incluidas tablas de observación (10).

A lo largo del curso de los siglos X y XI, numerosas observaciones astronómicas fueron realizadas, observaciones que, en la mayoría de los casos, sólo eran conocidas por el lugar en donde se realizaron que por quién las realizó: Bagdad, Damasco, Samarra, Nishapur ... lo que nos da una idea de que era observaciones del cielo desde observatorios privados, sin ningún orden ni estructura colectiva de organización o planificación.

Esta primera actividad de observación en el campo de la Astronomía sufrió un salto cualitativo importante, cuando en la ciudad de Raqqa, en el norte de la actual Siria, se comienza a trabajar en un programa sistemático de observación llevado a lo largo de casi treinta años y en donde se comienza a utilizar unos denominados “tubos de observación”, término que recoge incluso el gran astrónomo al-Battani en su obra (11). Estos tubos, que no aparecen en ningún tratado griego (12), estaban provistos de lentes, permitían focalizar la mirada sobre un rincón del cielo eliminando la luz cegadora. Al-Battani no hace más que mencionarlos, pero es en la obra de al-Biruni en donde encontramos una descripción precisa de este tipo de aparato de observación astronómica y de su manejo (13), aparato que llega a Occidente a finales del siglo X, llegando a ser, como sabemos, uno de los instrumentos más clásicos de observación.

Precisamente, va a ser en un observatorio dotado de estos tubos de observación, en donde Omar Jayyam va a realizar innumerables e importantes observaciones del cielo. Este observatorio probablemente fue creado hacia el año 1074, en la región de Ispahán, bajo el reinado de Malik (1072-1092) y ya, desde un principio, se va a trabajar con un plan organizado y con una cierta sistematicidad, en programas de observación de una duración de treinta años, el tiempo de una revolución completa de Saturno, el planeta conocido entonces como el más alejado de la tierra (14).

Este observatorio sólo va a funcionar de hecho dieciocho años, hasta la muerte de su fundador, pero fue el primer observatorio oficial en tener una actividad continuada, dentro de un marco de organización planificada y precisa y, por ello, va a ser el modelo del gran observatorio de Maraga, creado en la segunda mitad del siglo XIII, que marcará un salto cualitativo importante en la historia de la astronomía árabe.

De hecho conocemos bastante bien el funcionamiento del observatorio de Maraga, continuador del observatorio en donde Omar Jayyam, a finales del siglo XI y principios del XII realizó su labor como astrónomo; situado en el noroeste del Irán actual, permite elaborar con sus observaciones un juego de tablas astronómicas, las tablas iljanianas, de gran uso, pero sobre todo da a los sabios, a los científicos que trabajan en él, la posibilidad de poder poner a punto modelos geométricos mejores que los dejados por Ptolomeo, para dar cuenta de los movimientos celestes. Todo ello fue posible gracias a la excelente calidad del instrumental utilizado, a una organización rigurosa del trabajo y, especialmente, al gran número de sabios de reconocido prestigio que trabajaron en este observatorio, como Nasir al-Din al Tusi (1201-1274) y al-‘Urdi (m. 1266).

La construcción del observatorio de Maraga fue financiada por Hulagu Khan (m. 1265), el cual no dudó en hacer partícipe a este observatorio como destinatario de bienes waqf para su mantenimiento (15), siendo la primera vez, que nosotros sepamos, que un observatorio goza de este privilegio, lo cual puede explicar que sus trabajos e investigaciones continuaran incluso después de la muerte de su fundador y benefactor Hulagu Khan, sin que la financiación y el apoyo económico se suprimiera bruscamente con la muerte del príncipe mecenas, tal y como ocurrió con el observatorio fundado por Malik en el que trabajó Omar Jayyam.

Su construcción comienza en el año 1259 y todo parece indicar que acaba en el año 1263. El conjunto construido se encontraba situado en un terreno de 280 x 220 metros y comprendía, además de todo un surtido de instrumentos variados de observación, una importante biblioteca y una pequeña fundición para la elaboración de aparatos y utensilios de cobre.

Al-‘Urdi, que fue uno de los responsables de la fabricación de los aparatos, no concibe ninguno que no fuera conocido ya, pero sí se esmera en producirlos con una mejor calidad y una mayor precisión. Sólo tenemos noticia de un aparato de observación astronómica que fue inventado y utilizado en el observatorio de Maraga: se trata de un círculo azimutal provisto de dos cuadrantes, que permitía tomar simultáneamente la altura de dos astros sobre el horizonte (16).

El programa de observaciones continuadas, tal y como lo diseñó Nasir al-Din al-Tusi, era de una duración de treinta años, por las mismas razones y a semejanza del observatorio fundado por Malik y en el que trabajó Omar Jayyam, pero finalmente fue reconducido a una extensión de sólo doce años, el tiempo de rotación de Júpiter, siendo las famosas tablas iljanianas publicadas durante este periodo.

Numerosos sabios y astrónomos trabajaron en el observatorio de Maraga; no sólo Nasir al-Din al-Tusi y al-‘Urdi, ya mencionados, sino también Muhyi al-Din al-Magribi y Qutb al-Din al-Shirazi, creándose una auténtica escuela alrededor de Maraga, que tendrá una influencia indiscutible en el desarrollo posterior de la Astronomía oriental y occidental.

Tenemos datos que nos confirman su actividad plena, al menos hasta el año 1316, año de la muerte de su último director conocido, Asil al-Din, que estuvo en este cargo desde el año 1304, pues hacia el año 1350 sus instalaciones ya eran ruinas. Estamos seguros que el observatorio de Maraga ha funcionado más de cincuenta años, aunque no sea posible, por el momento, poder dar una fecha precisa del cese de sus actividades.

Es necesario volver a resaltar que este observatorio tuvo una influencia muy importante, no solamente por la cantidad y la calidad de los trabajos científicos que allí se desarrollaron, sino porque acabó siendo el modelo, el prototipo, de los grandes observatorios astronómicos posteriores, en particular de los tres grandes observatorios islámicos más grandes, el de Samarcanda (fundado por el príncipe Ulug Beg en el año 1420 y que mantuvo su actividad hasta el año 1500) , el de Estambul (que fue construido por el astrónomo Taqi al-Din en el año 1575 y que sólo ha dejado de funcionar hace unas decenas de años) y el construido en la India, en la ciudad de Jaipur (proyectado por Jai Singh en el año 1740).

Centrándonos en la actividad astronómica de Omar Jayyam, cuatro grandes aspectos de la misma podemos destacar.

En primer lugar, por supuesto, su colaboración y sus trabajos en el observatorio fundado por el príncipe Malik, en particular los llevados a cabo sobre la reforma del calendario solar. En el año 1074, Omar Jayyam fue invitado por el sultán seljúcida Malik Shah a la capital del reino, Ispahán, para crear un observatorio astronómico y reformar el calendario solar persa, labor necesaria para la organización de los trabajos agrícolas.

Las nuevas observaciones del movimiento del sol permitían medir con más precisión la duración del año solar; el primer día del nuevo calendario solar coincidió con el equinoccio de primavera del año 1079 , llamado “malikí” o “yalalí”, en honor, como no, del soberano Malik Shah, que además llevaba el nasab de Yalal al-Dawla. (17)

La reforma no fue llevada, finalmente, a su último término, pero la designación de los años bisiestos establecida según la serie 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 y 33, es mucho más exacto que, por ejemplo nuestro calendario gregoriano, ya que éste último tiene una variación, una diferencia sobre el calendario solar de un día cada 3.333 años, mientras que el propuesto por Omar Jayyam, tiene una variación de un día cada 5.000 años. El observatorio, que como hemos dicho anteriormente, fue el modelo del posterior de Malaga, fue destruido tras la muerte de Malik Shah, en el año 1092.

En segundo lugar, hay que citar, dentro de la actividad astronómica de Omar Jayyam, su compliación de las conocidas “Tablas astronómicas para Malik Shah” (Ziy Malik Sahi), mencionadas por Hayyi Jalifa (18). De las mismas, de este valioso documento de astronomía, sólo nos ha llegado una parte: el catálogo de las cien estrellas más brillantes; este fragmento se ha podido encontrar en un manuscrito anónimo escrito por los Isma’ilíes y que, en la actualidad, se encuentra depositado en la Biblioteca Nacional de París (19).

En tercer lugar, es necesario mencionar su obra sobre Astronomía “El Libro del año Nuevo” (Nawruz-nama), escrita en persa. En este libro Omar Jayyam recoge y rcopila todas sus teorías y actividades realizadas alrededor del calendario solar persa. Sólo se conoce la existencia de un único manuscrito de este libro, conservado en Berlín, cuyo texto fue publicado en Teherán, en el año 1933.

Respecto a esta obra, podemos afirmar que, sin duda, fue escrita para atraer la atención de los sucesores de Malik Shah sobre los problemas del calendario persa y animarlos a reconstruir el observatorio, objetivo en el que no triunfó.

Por último, en cuarto lugar, y dentro del ámbito de su actividad en el campo y la docencia de la Astronomía, debemos citar a su alumno ‘Abd al-Rahman al-Jazini.

Sabemos que, en la época en que la capital del sultanato seljúcida fue transferida a Merv, Omar Jayyam escribió sus obras sobre Mecánica. En Merv, en la corte del sultán Sanyar, trabajó el discípulo de Omar Jayyam, ‘Abd al-Rahman al-Jazini, autor de las “Tablas astronómicas de Sanyar”, además de un tratado sobre Mecánica titulado “La balanza de la sabiduría” (Mizan al-hukm).

Esta obra de al-Jazini incorpora los textos de los dos tratados de Omar Jayyam sobre mecánica, “Acerca de la balanza justa (Fi-l-kustas al-mustakin) y ”La balanza de las sabidurías” (Mizan al-hikam). Las dos obras están consagradas a la teoría de la balanza de platillos.

En conclusión, hemos querido resaltar que la figura universal de Omar Jayyam abarca muchos campos y aspectos del saber humano de su tiempo, no solamente en el entorno de las Matemáticas y la Literatura, sino también en campos como el de la Astronomía, del que hemos hablado en esta comunicación, y en el de la Mecánica, la Música o la Filosofía, de los que se hablará en otra ocasión.

Juan Martos Quesada
Universidad Complutense de Madrid
jmartos@filol.ucm.es

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Notas:

(1) Acerca de la vida de Omar Jayyam, cf. R. Moreno Castillo, Omar Jayyam, poeta y matemático, Madrid, 2002; H. Lamb, Omar Khayyam, Barcelona, 1996; Schirazi, Life of Omar Al-Khayyami, Londres, 1904, (que fue una de las primeras biografías escritas en Occidente sobre nuestro personaje).
(2) Cf. G. Sarton, “The tomb of Omar Khayyam”, en Isis, XXIX, (1938), págs. 14-19.
(3) Cf. D.S. Kasir (ed.), The Algebra of Omar Khayyam, 1931; y también, D.J.Struik
“Omar Khayyam, Mathematiciam”, en The Matematics Teacher, LI (1958), págs. 280-
285.
(4) Cf. R. Rhased y B. Vahabzadeh, Al-Khayyam nathématicien, París, 1999.
(5) Cf. A.R. Amir-Moez, “A paper of Omar Khayyam”, en Scripta Matemática, XXVI
(1963), págs. 323-337.
(6) Íbidem, pág. 328.
(7) Íbidem, pág. 329.
(8) Cf. D.J. Struik, op.cit., pág. 282.
(9) Cf. R. Morelon, “Panorama general de l’histoire de l’astronomie arabe”, en R. Rashed (dir.), Histoire des sciences arabes, París, 1997, vol. 1, págs. 17-33.
(10) Por ejemplo, la importante obra de al-Battani, Zij al-Sabi, o la de al-Biruni, Qanun al-Mas’udi, aunque ésta última sigue conservando el término griego.
(11) Cf. al-Battani, Zij al-Saba’i, ed. de C.A. Nallino, Milán, 1899-1907, vol. III, págs. 137-138 y vol. I, págs. 91 y 272.
(12) Cf. R. Eisler, “The Polar Sighting Tube”, en AIHS, VI (1949), págs. 312-332.
(13) Al-Biruni, Al-Qanun al-Mas’udi, Hyderabad, 1954-1956, tratado 8, capítulo 14, 2ª sección.
(14) Cf. A. Sayili, The Observatory in Islam and Its Place in the General History of the Observatory, Ankara, 1960.
(15) Cf. Sayili, op. cit., págs. 160-166 y P. Vardjavand, “Rapport sur les résultats des excavations du complexe scientiphique de l’observatoire de Maragha”, en M. Dizer (éd.), International Symposium on the Observatoires in Islam, 19-23 september 1977, Estambul, 1980, págs. 143-163.
(16) R. Morelon, op. cit., pág. 29.
(17) Cf. D. Crecelius, Encyclopédie de l’Islam, 2ª ed., París, 1976, s.v. «‘Umar Jayyam», pág. 898.
(18) íbidem, pág. 898.
(19) Existe una traducción rusa de este fragmento de las Tablas, en Rosenfeld, Omar
Khayyam. Traités, textos árabes y persas, traducidos al ruso, Moscú, 1962.